Question

已知α1=（1，-2，1）T，α2=（-1，a，1）T依次是三阶不可逆实对称矩阵 A的属于的特征值λ1=1，λ2=-1的

已知α1=（1，-2，1）T，α2=（-1，a，1）T依次是三阶不可逆实对称矩阵 A的属于的特征值λ1=1，λ2=-1的特征向量，求：（Ⅰ） A；（Ⅱ） A2009β，其中β=（1，1，1）T．

Answer 1

（Ⅰ）∵A不可逆
∴A的特征值必有一个为0
设属于0的特征向量为α3＝(b，c，d)T
则α₁、α₂、α₃是正交的
∴

?2a＝0 b?2c+d＝0 ?b+ac+d＝0

解得：a=0和满足条件的一个α3＝(1，1，1)T
∴存在可逆矩阵P＝

1 ?1 1 ?2 0 1 1 1 1

，使得P?1AP＝∧＝

1       ?1       0

∴A=P∧P^-1
又容易求出P?1＝?

1

6

?1 2 ?1 3 0 ?3 ?2 ?2 ?2

∴A＝?

1

3

1 1 ?2 1 ?2 1 ?2 1 1

（Ⅱ） 由（I），得
A²⁰⁰⁹β=P∧²⁰⁰⁹P^-1β=P∧P^-1β=Aβ=

0 0 0