Question

已知函数f（x）=mx-m?1x-lnx，g（x）=1sinθ?x+lnx在[1，+∞]上为增函数，且θ∈（0，π），求解下列各题

已知函数f（x）=mx-m?1x-lnx，g（x）=1sinθ?x+lnx在[1，+∞]上为增函数，且θ∈（0，π），求解下列各题：（1）求θ的取值范围；（2）若h（x）=f（x）-g（x）在（1，+∞）上为单调增函数，求m的取值范围；（3）设φ（x）=2ex，若在[1，e]上至少存在一个x0，f（x0）-g（x0）＞φ（x0）成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）∵g（x）=

1

sinθ?x

+lnx在[1，+∞）上为增函数，
∴g′（x）=-

1

sinθ?x2

+

1

x

≥0在[1，+∞）上恒成立，
即

sinθ?x?1

sinθ?x2

≥0在[1，+∞）上恒成立，
又∵θ∈（0，π），即sinθ＞0，
∴sinθ?x-1≥0在[1，+∞）上恒成立，
只需sinθ?1-1≥0，即sinθ≥1，由sinθ≤1有sinθ=1，
∵θ∈（0，π），∴θ=

π

2

，
（2）h（x）=f（x）-g（x）=mx-

m

x

-2lnx，
∴h′（x）=

mx2?2x+m

x2

，
∵h（x）在[1，+∞）递增，
∴mx²-2x+m≥0在[1，+∞）上恒成立，
∴m（1+x²）≥2x，即m≥

2x

1+x2

，
而

2x

1+x2

=

2

x+ 1 x

≤

2

2 x? 1 x

=1，
∴mx²-2x+m≥0在[1，+∞）恒成立时有m≥1，
即函数h（x）=f（x）-g（x）在[1，+∞）上为单调增函数时，m的范围是[1，+∞）；
（3）令F（x）=f（x）-g（x）-φ（x）=mx-

m

x

-2lnx-

2e

x

，
①m≤0时，∵x∈[1，e]，
∴mx-

m

x

≤0，-2lnx-

2e

x

＜0，
∴F（x）＜0，
故在[1，e]上不存在一个x₀，使f（x₀）-g（x₀）＞φ（x₀）成立，
②m＞0时，F′（x）=

mx2?2x+m+2e

x2

，
∵x∈[1，e]，
∴2e-2x≥0，mx²+m＞0，
∴F′（x）＞0在[1，e]恒成立，
故F（x）在[1，e]上递增，F（x）_max=me-

m

e

-4，
∴只需满足me-

m

e

-4＞0，
解得：m＞

4e

e2?1

．