Question

已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj

已知数列A：a1，a2，…，an（0≤a1＜a2＜…＜an，n≥3）具有性质P：对任意i，j（1≤i≤j≤n），aj+ai与aj-ai两数中至少有一个是该数列中的一项，给出下列三个结论：①数列0，2，4，6具有性质P；②若数列A具有性质P，则a1=0；③若数列a1，a2，a3（0≤a1＜a2＜a3）具有性质P，则a1+a3=2a2．其中，正确结论的个数是（　　）A．3B．2C．1D．0

Answer 1

①数列0，2，4，6，a_j+a_i与a_j-a_i（1≤i≤j≤3）两数中都是该数列中的项，
并且a₄-a₃=2是该数列中的项，故①正确；
②若数列{a_n}具有性质P，去数列{a_n}中最大项a_n，则a_n+a_n=2a_n与a_n-a_n=0两数中至少有一个是该数列中的一项，而2a_n不是该数列中的项，
∴0是该数列中的项，
又由0≤a₁≤a₂…≤a_n，
∴a₁=0；故②正确；
③∵数列a₁，a₂，a₃具有性质P，0≤a₁＜a₂＜a₃，
∴a₁+a₃与a₃-a₁至少有一个是该数列中的一项，且a₁=0，
1°若a₁+a₃是该数列中的一项，则a₁+a₃=a₃，
∴a₁=0，易知a₂+a₃不是该数列的项
∴a₃-a₂=a₂，∴a₁+a₃=2a₂．
2°若a₃-a₁是该数列中的一项，则a₃-a₁=a₁或a₂或a₃，
①若a₃-a₁=a₃同1°，
②若a₃-a₁=a₂，则a₃=a₂，与a₂＜a₃矛盾，
③a₃-a₁=a₁，则a₃=2a₁，
综上a₁+a₃=2a₂．故③正确．
故选：A．