Question

设二次函数f（x)=x^2+bx+c(b,c属于R），已知不论α，β为何实数恒有f（sinα）>=0,f(2+cosβ)<=0.

1.求证：b+c=-1
2.求证：c>03

Answer 1

1.
-1<=sinα<=1
也就是说 x∈[-1,1]时 f(x)>=0
-1<=cosβ<=1
1<=2+cosβ<=3
也就是说 x∈[1,3]时 f(x)<=0
要使这两个不等式同时成立，必有 x=1时，f(x)=0
即f(1)=1+b+c=0 从而有： b+c=-1

2.
我们知道f(x)是开口向上的
已经知道它的一个根是 x1=1 ，即 f(x1)=0
x∈[-1,1]时 f(x)>=0 ，x2不会小于1
而x∈[1,3]时 f(x)<=0，所以 另一个根必有 x2>=3。
假设 1<x2<3，必有 f(x2)=0
而 f(3)>f(x2)=0，矛盾，所以 x2>=3
这样c=x1*x2>=1×3=3
即 c>=3