Question

设坐标原点为O，抛物线y 2 =2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 OA ? OB =

设坐标原点为O，抛物线y 2 =2x与过焦点的直线交于A，B两点，则 OA ? OB =______．

Answer 1

法一：抛物线y 2 =2x的焦点F（ 1 2 ，0 ）， 当AB的斜率不存在时，可得A（ 1 2 ，1），B（ 1 2 ，-1）， ∴ OA ? OB =（ 1 2 ，1）?（ 1 2 ，-1）= 1 4 -1=- 3 4 ， 法二：由题意知，抛物线y 2 =2x的焦点坐标为（ 1 2 ，0），∴直线AB的方程为y=k（x- 1 2 ）， 由 y 2 =2x y=k(x- 1 2 ) 得k 2 x 2 -（k 2 +2）x+ 1 4 k 2 =0，设A（x 1 ，y 1 ），B（x 2 ，y 2 ）， 则 x 1 + x 2 = k 2 + 2 k 2 ， x 1 ? x 2 = 1 4 ，y 1 ?y 2 =k（x 1 - 1 2 ）?k（x 2 - 1 2 ）=k 2 [x 1 ?x 2 -（x 1 +x 2 ）+ 1 4 ] ∴ OA ? OB =x 1 ?x 2 +y 1 ?y 2 = k 2 +2 k 2 + k 2 ( 1 4 - k 2 +2 4k 2 + 1 4 ) =- 3 4 ， 故答案为：- 3 4 ．