Question

设坐标原点为O，抛物线y²=2x,与过焦点的直线交于A、B两点，则向量OA乘向量OB的值为？求过程

Answer 1

设A(x1,y1)B(x2,y2)
题目所求的其实是x1x2+y1y2

因为直线与抛物线交于两点
可能为垂直于X轴的情况
但不可能垂直于Y轴
所以可设直线为x=my+t

又因为直线过焦点
把焦点（1/2，0）代入
得到直线x=my+1/2

直线与抛物线联立
得到方程y^2-2my-1=0
求出y1y2=-1
根据直线方程又可求出x1x2

x1x2+y1y2就是解了

追问

能把过程写详细点吗？我不是很明白，那x=my+t是什么公式？

追答

x=my+t
斜截式的时候，就是说直线与坐标轴有一个交点的时候，这样t就可以确定了，就是交点的坐标
简单说：若直线的斜率不存在，可以这样设。
写详细点啊……我有点懒，在知道里复制一个给你吧

设直线l:y=k(x-1/2)
代入y^2=2x,得:k^2x^2-(k^2+2)x+k^2/4=0
设A(x1,y1),B(x2,y2)
则x1x2=1/4 x1+x2=(k^2+2)/k^2
y1y2=k^2(x1-1/2)(x2-1/2)=k^2[x1x2-1/2(x1+x2)+1/4]
=k^2[1/4-(k^2+2)/2k^2+1/4]
=1/2k^2(1-1-2/k^2)=-1
x1x2+y1y2=1/4-1=-3/4
当斜率不存在时,同理可得:x1x2+y1y2=-3/4
所以值为-3/4