Question

已知动点M（x，y）在曲线C上，点M与定点F（1，0）的距离和它到直线m：x=4的距离的比是 1 2 ．

已知动点M（x，y）在曲线C上，点M与定点F（1，0）的距离和它到直线m：x=4的距离的比是 1 2 ．（1）求曲线C的方程；（2）点E（-1，0），∠EMF的外角平分线所在直线为l，直线EN垂直于直线l，且交FM的延长线于点N．试求点P（1，8）与点N连线的斜率k的取值范围．

Answer 1

（1）设点M到直线m：x=4的距离为d， 根据题意，可得 |MF| d = 1 2 ， 即 (x-1) 2 + y 2 |x-4| = 1 2 ，化简得 x 2 4 + y 2 3 =1 ． ∴曲线C的方程是 x 2 4 + y 2 3 =1 ； （2）由（1）得曲线C是E（-1，0）、F（1、0）为焦点的双曲线，2a=4． 根据题意，可知|ME|=|MN|， ∵|ME|+|MF|=2a，∴|NF|=|MN|+|MF|=4 ∴点N的轨迹是以F（1，0）为圆心，4为半径的圆． 又∵直线PN的方程为：y-8=k（x-1），即kx-y+8-k=0． ∴圆心F到直线PN的距离d小于等于半径，可得 |k+8-k| k 2 +1 ≤4 ， 解之得 k≤- 3 或 k≥ 3 ，可得斜率k的取值范围是（-∞，- 3 ]∪[ 3 ，+∞）．