Question

已知函数f（x）= （x∈R），a为正数。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x

已知函数f（x）= （x∈R），a为正数。（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若对任意x 1 ，x 2 ∈[0，4]均有|f（x 1 ）-f（x 2 ）|<1成立，求实数a的取值范围。

Answer 1

解：（1）∵f（x）= ） ∴f′（x）= ， 令f′（x）=0， ∵a>0， ∴x 1 =0，x 2 =3， f′（x）>0，得0＜x＜3； f′（x）＜0，得x＜0或x>3， f（x）在（-∞，0]上为减函数，在[0，3]上为增函数，在[3，+∞）上为减函数； （2）由（1）知，f（x）在[0，3]上为增函数，在[3，4]上为减函数， ∴函数f（x）在[0，4]上有极大值f（3）= 也是最大值， 又∵f（0）=-a＜0，f（4）=11ae -4 >0， ∴f（0）＜f（4）， ∴f（x）在[0，4]上的最小值为-a， ∴要使得函数f（x）对任意x 1 ，x 2 ∈[0，4]均有|f（x 1 ）- f（x 2 ）|＜1成立只需|f（3）-f（0）|＜1即可， ∴ ∵a>0， ∴0＜a＜ 。