如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,DF 平分∠ADC交线段AE于点F.(1)如图1,若AE=AD,∠ADC=60°
如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,DF平分∠ADC交线段AE于点F.(1)如图1,若AE=AD,∠ADC=60°,请探索线段CD与AF+BE之间所满足的数量...
如图,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,DF 平分∠ADC交线段AE于点F.(1)如图1,若AE=AD,∠ADC=60°,请探索线段CD与AF+BE之间所满足的数量关系;(2)如图2,若AE=AD,则你在(1)中得到的结论是否仍然成立?若成立,对你的结论加以证明;若不成立,请说明理由.
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(1)CD=AF+BE,
理由是:如图,∵∠ADC=60°,DF平分∠ADC,
∴∠ADF=∠CDF=30°,
∵平行四边形ABCD,
∴∠B=∠ADC=60°,AD∥BC,AB=CD,
∵AE⊥BC,
∴∠DAF=∠AEB=90°,
∴∠BAE=30°=∠ADF,
∴BE=
AB=
CD,
在△ADF和△EAB中,
∴△ADF≌△EAB(ASA),
∴AF=BE=
CD,
∴CD=AF+BE.
(2)结论仍然成立.
证明:如图,延长FA至G,使AG=BE,
在△DAG和△AEB中,
,
∴△DAG≌△AEB(SAS),
∴∠GDA=∠BAE,GD=AB=CD,
又∵平行四边形ABCD中,AE⊥BC,
∴∠BAE+∠ADC=90°,
∴∠GDF=90°-∠CDF,
在Rt△DAF中,∠AFD=90°-∠ADF,
∴∠GFD=∠GDF,
∴GF=GD,
∴GD=AF+AG,
∴CD=AF+BE.
理由是:如图,∵∠ADC=60°,DF平分∠ADC,
∴∠ADF=∠CDF=30°,
∵平行四边形ABCD,
∴∠B=∠ADC=60°,AD∥BC,AB=CD,
∵AE⊥BC,
∴∠DAF=∠AEB=90°,
∴∠BAE=30°=∠ADF,
∴BE=
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1 |
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在△ADF和△EAB中,
|
∴△ADF≌△EAB(ASA),
∴AF=BE=
1 |
2 |
∴CD=AF+BE.
(2)结论仍然成立.
证明:如图,延长FA至G,使AG=BE,
在△DAG和△AEB中,
|
∴△DAG≌△AEB(SAS),
∴∠GDA=∠BAE,GD=AB=CD,
又∵平行四边形ABCD中,AE⊥BC,
∴∠BAE+∠ADC=90°,
∴∠GDF=90°-∠CDF,
在Rt△DAF中,∠AFD=90°-∠ADF,
∴∠GFD=∠GDF,
∴GF=GD,
∴GD=AF+AG,
∴CD=AF+BE.
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