Question

已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时f（x）=-|x|+1

已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，都有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时f（x）=-|x|+1．则方程f（x）=log4|x|在区间[-7，7]内的解个数是（　　）A．10B．9C．8D．12

Answer 1

解答：解：令-3≤x≤-1则-1≤x+2≤1，
∵f（x+2）=2f（x），∴f（x）=

1

2

（1-|x+2|）（-3≤x≤-1）①
令-5≤x≤-3则-1≤x+4≤1，f（x+4）=1-|x+4|，又f（x+4）=2f（x+2）=4f（x），
∴f（x）=

1

4

（1-|x+4|）（-5≤x≤-3）②
则-7≤x≤-5时，f（x）=

1

8

（1-|x+6|）③
当1≤x≤3时，-1≤x-2≤1，f（x-2）=1-|x-2|
又f（x-2）=

1

2

f（x），即f（x）=2（1-|x-2|），
同理3≤x≤5时，
f（x）=4（1-|x-4|）④
当5≤x≤7时，f（x）=8（1-|x-6|）⑤
如图所示f（x）的图象，
再画出y=log₄|x|的图象，观察得出交点数为8，
即方程f（x）=log₄|x|在区间[-7，7]内的解个数是8．
故选：C．