Question

已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1

已知函数f（x）满足：①定义域为R；②对任意x∈R，有f（x+2）=2f（x）；③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1．则方程f（x）=log4|x|在区间[-10，10]内的解的个数是______．

Answer 1

解：在同一坐标系中画出满足条件：
①定义域为R；
②?x∈R，有f（x+2）=2f（x）；
③当x∈[-1，1]时，f（x）=-|x|+1．的函数f（x）与函数y=log₄|x|的图象：
观察图象可得：两个函数的图象共有11个交点
则方程f（x）=log₄|x|在区间[-10，10]内的解的个数是：11．
故答案为：11．

Answer 2

当x∈[-1,1]时f(x)=-｜x｜+1，
对任意的x∈R，有f(x+2)=2f(x)
那么f(x)=2f(x-2)
设x∈[1,3],那么x-2∈[-1,1]
∴f(x)=2f(x-2)=2(-|x-2|+1)=-2|x-2|+2

当x∈[3,5]时，x-2∈[1,3],

f(x)=2f(x-2)=2(-2|x-4|+2)=-4|x-4|+4

同理：
当x∈[5,7]时，f(x)=-8|x-6|+8
当x∈[7,9]时，f(x)=-16|x-8|+16
当x∈[9,11]时，f(x)=-32|x-10|+32

x∈[-3,-1]时，x+2∈[-1,1]

f(x)=1/2f(x+2)=-1/2|x+2|+1/2
x∈[-5,-3]时，f(x)=-1/4|x+4|+1/4
x∈[-7,-5]时，f(x)=-1/8|x+6|+1/8
x∈[-9,-7]时，f(x)=-1/16|x+8|+1/16
x∈[-11,-9]时，f(x)=-1/32|x+10|+1/32
画出
分段函数
f(x)的图像和y=log(5)|x|的图像
观察交点个数在[-10,10]内为12
那么方程f(x)=log(5)|x|有12个解