Question

求椭圆的标准方程

已知F1，F2是椭圆X²／a²+Y²／b²（a＞b＞0)的左右焦点，椭圆上的点A是位于第一象限内的一点，点B也在椭圆上且满足向量OA+向量OB=0（O是坐标原点），若AF2垂直于F1F2，椭圆的离心率为√2／2，三角形ABF2的面积为4√2，求椭圆的标准方程

Answer 1

椭圆离心或肆链率为 e=c/a = √2/2 ，因此 c^2/a^2 = 1/2 ，
即 (a^2-b^2) / a^2 = 1/2 ，------------（1）
AF2丄F1F2，说明 A 的横坐标为 c ，代入椭圆方程得衫孙纵坐标为 ±√2/2*b ，
因为 OA+OB=0 ，因此 A、B 关于原点对称，A、O、B 三点共线，
因此雹兆 SABF2 = 2SAOF2 =|OF2|*|AF2| = √2/2*bc = 4√2 ，
平方得 b^2*c^2 = b^2*(a^2-b^2) = 64 ，-------（2）
由（1）（2）可解得 a^2 = 16，b^2=8 ，
所以椭圆标准方程为 x^2/16+y^2/8 = 1 。