Question

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2 -（2k+3）x+k 2 +3k+2=0的两个实数根，第三边BC的

已知：△ABC的两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x 2 -（2k+3）x+k 2 +3k+2=0的两个实数根，第三边BC的长为5．试问：k取何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形？

Answer 1

设边AB=a，AC=b ∵a、b是方程x 2 -（2k+3）x+k 2 +3k+2=0的两根 ∴a+b=2k+3，a?b=k 2 +3k+2 又∵△ABC是以BC为斜边的直角三角形，且BC=5 ∴a 2 +b 2 =5 2 ， 即（a+b） 2 -2ab=5 2 ， ∴（2k+3） 2 -2（k 2 +3k+2）=25 ∴k 2 +3k-10=0 ∴k 1 =-5或k 2 =2 当k=-5时，方程为：x 2 +7x+12=0 解得：x 1 =-3，x 2 =-4（舍去） 当k=2时，方程为：x 2 -7x+12=0 解得：x 1 =3，x 2 =4 ∴当k=2时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形．