设函数f（x）=lnx+12x2-（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．（Ⅰ）求实数m的取值范围
设函数f（x）=lnx+12x2-（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若ba≥e（e为自然对数的底数），求f...
设函数f（x）=lnx+12x2-（m+2）x，在x=a和x=b处有两个极值点，其中a＜b，m∈R．（Ⅰ）求实数m的取值范围；（Ⅱ）若ba≥e（e为自然对数的底数），求f（b）-f（a）的最大值．
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（Ⅰ） f′(x)＝
，
则由题意得方程x2-（m+2）x+1=0有两个正根，
故
，
解得m＞0．故实数m的取值范围是m＞0．
（Ⅱ）f(b)?f(a)＝ln
+
(b2?a2)?(m+2)(b?a)，
又m+2=a+b，ab=1∴f(b)?f(a)＝ln
?
(b2?a2)=ln
?
(
)=ln
?
(
?
)，
设t＝
(t≥e)，故，构造函数g(t)＝lnt?
(t?
)(t≥e)
g′(t)＝
?
(1+
)＝?
＜0，
所以g（t）在[e，+∞）上是减函数，g(t)≤g(e)＝1?
+
，
f（b）-f（a）的最大值为1?
+
| x2?(m+2)x+1 |
| x |
则由题意得方程x2-（m+2）x+1=0有两个正根，
故
|
解得m＞0．故实数m的取值范围是m＞0．
（Ⅱ）f(b)?f(a)＝ln
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
又m+2=a+b，ab=1∴f(b)?f(a)＝ln
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b2?a2 |
| ab |
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
| b |
| a |
| a |
| b |
设t＝
| b |
| a |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| t |
g′(t)＝
| 1 |
| t |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| t2 |
| (t?1)2 |
| 2t2 |
所以g（t）在[e，+∞）上是减函数，g(t)≤g(e)＝1?
| e |
| 2 |
| 1 |
| 2e |
f（b）-f（a）的最大值为1?
| e |
| 2 |
