Question

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，π3)，半径r=1，P在圆C上运动．（

选修4-4：坐标系与参数方程在极坐标系中，O为极点，已知圆C的圆心为(2，π3)，半径r=1，P在圆C上运动．（I）求圆C的极坐标方程；（II）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O为原点，以极轴为x轴正半轴）中，若Q为线段OP的中点，求点Q轨迹的直角坐标方程．

Answer 1

（Ⅰ）设圆上任一点坐标为（ρ，θ），由余弦定理得12＝ρ2+22?2?2ρcos(θ?

π

3

)
所以圆C的极坐标方程为ρ2?4ρcos(θ?

π

3

)+3＝0…（5分）
（Ⅱ）圆C的极坐标方程为ρ2?4ρcos(θ?

π

3

)+3＝0可化成直角坐标方程为：
(x?1)2+(y?

3

)2＝

1

4

设Q（x，y）则P（2x，2y），P在圆上，
∴(2x?1)2+(2y?

3

)2＝

1

4

，
则Q的直角坐标方程为(x?

1

2

)2+(y?

3

2

)2＝

1

4

…（10分）