Question

如图，在一些大小相等的正方形内分别紧密排列着一些等圆．（1）根据你的观察与分析，你认为正方形内圆的

如图，在一些大小相等的正方形内分别紧密排列着一些等圆．（1）根据你的观察与分析，你认为正方形内圆的数目是否呈规律性的变化？如果是，则第n个图形中共有______个圆；（2）若正方形的边长是a，分别计算图①、②、③中阴影部分的面积；（3）分析（2）中计算的结果，你有什么发现？请你求出第n个图形中阴影部分的面积来说明你的发现．

Answer 1

（1）图形①圆的个数是1，
图形②圆的个数是4，
图形③圆的个数是9，
图形④圆的个数是16，
图形⑤圆的个数是25，
图形⑥圆的个数是36；
第n个正方形中圆的个数为n²个；

（2）图①中 S阴影＝a2?π?(

a

2

)2＝

4?π

4

a2
图②中 S阴影＝a2?4?π?(

a

4

)2＝

4?π

4

a2
图③中  S阴影＝a2?9?π?(

a

6

)2＝

4?π

4

a2；

（3）三个图形中阴影部分的面积均相等，与圆的个数无关．
第n图形中阴影部分的面积是S阴影＝a2?n?π?(

a

2n

)2＝

4?π

4

a2
它是一个与n的取值无关的数值，
因此：按以上规律得到的所有图形的阴影部分的面积
是一个与n无关的定值．