Question

设函数f（x）=|x2-4x-5|．（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）当k＞2时，求证：在区间[-1，

设函数f（x）=|x2-4x-5|．（1）在区间[-2，6]上画出函数f（x）的图象；（2）当k＞2时，求证：在区间[-1，5]上，y=kx+3k的图象位于函数f（x）图象的上方．

Answer 1

解（1）如图，
（2）[解法一]当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5．
g（x）=k（x+3）-（-x²+4x+5）=x²+（k-4）x+（3k-5）=(x?

4?k

2

)2?

k2?20k+36

4

，
∵k＞2，∴

4?k

2

＜1．又-1≤x≤5，
①当?1≤

4?k

2

＜1，即2＜k≤6时，取x＝

4?k

2

，g（x）_min=?

k2?20k+36

4

＝?

1

4

[(k?10)2?64]．
∵16≤（k-10）²＜64，∴（k-10）²-64＜0，
则g（x）_min＞0．
②当

4?k

2

＜?1，即k＞6时，取x=-1，g（x）_min=2k＞0．
由 ①、②可知，当k＞2时，g（x）＞0，x∈[-1，5]．
因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．
[解法二]当x∈[-1，5]时，f（x）=-x²+4x+5．
由

y＝k(x+3) y＝?x2+4x+5

得x²+（k-4）x+（3k-5）=0，
令△=（k-4）²-4（3k-5）=0，解得 k=2或k=18，
在区间[-1，5]上，当k=2时，y=2（x+3）的图象与函数f（x）的图象只交于一点（1，8）； 
当k=18时，y=18（x+3）的图象与函数f（x）的图象没有交点．
如图可知，由于直线y=k（x+3）过点（-3，0），当k＞2时，直线y=k（x+3）是由直线y=2（x+3）绕点（-3，0）逆时针方向旋转得到．因此，在区间[-1，5]上，y=k（x+3）的图象位于函数f（x）图象的上方．