Question

曲线弧y=sinx（0＜x＜π）上曲率半径最小的点处的曲率半径为______

曲线弧y=sinx（0＜x＜π）上曲率半径最小的点处的曲率半径为______．

Answer 1

因为y=sinx，y′=cosx，y″=-sinx，
所以k（x）=

|?sinx|

(1+cos2x) 3 2

=

sinx

(1+cos2x) 3 2

，0＜x＜π．
因为k′（x）=

cosx(1+cos2x) 3 2 +cosxsin2x(1+cos2x) 1 2

(1+cos2x)3

=

2cosx

(1+cos2x) 5 2

，0＜x＜π，
令k′（x）=0 可得，x=

π

2

．
因为当0＜x＜

π

2

时，k′（x）＞0，当

π

2

＜x＜π时，k′（x）＜0，
故k（x）在(0，

π

2

)上单调增，在(

π

2

，π)上单调减，
从而当x=

π

2

时，k（x）取得最大值，从而曲率半径取得最小值R=

1

k( π 2 )

=1．
故答案为：1．