Question

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于 点F．问：（1）图中△AP

如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连接CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于 点F．问：（1）图中△APD与哪个三角形全等？试证明之；（2）△APE与哪个三角形相似？试证明之；（3）如果PE=4，EF=5，求线段PC的长．

Answer 1

（1）△APD≌△CPD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴CD=DA，∠CDP=∠ADP，DP公共． ∴△APD≌△CPD． （2）△APE ∽ △FPA． ∵根据（1）的结论知道∠DCP=∠DAP，而CD ∥ AF， ∴∠F=∠DAP， 由（1）△APD≌△CPD，可得∠DCR=∠DAP， ∴∠F=∠DCP， ∴APE ∽ △FPA． （3）根据（1），（2）可以得到 PC=PA= PE?PF =6 ．