Question

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运

如图，Rt△ABC的内切圆⊙O与AB、BC、CA分别相切于点D、E、F，且∠ACB=90°，AB=5，BC=3，点P在射线AC上运动，过点P作PH⊥AB，垂足为H．（1）直接写出线段AC、AD及⊙O半径的长；（2）设PH=x，PC=y，求y关于x的函数关系式；（3）当PH与⊙O相切时，求相应的y值．

Answer 1

解：（1）AC=4，AD=3，⊙O的半径长为1．
（如图1，连接AO、DO．设⊙O的半径为r．
在Rt△ABC中，由勾股定理得AC=

AB2?BC2

=4，
则⊙O的半径r=

1

2

（AC+BC-AB）=

1

2

（4+3-5）=1；
∵CE、CF是⊙O的切线，∠ACB=90°，
∴∠CFO=∠FCE=∠CEO=90°，CF=CE，
∴四边形CEOF是正方形，
∴CF=OF=1；
又∵AD、AF是⊙O的切线，
∴AF=AD；
∴AF=AC-CF=AC-OF=4-1=3，即AD=3）；

（2）①如图1，若点P在线段AC上时．
在Rt△ABC中，AB=5，AC=4，BC=3，
∵∠C=90°，PH⊥AB，
∴∠C=∠PHA=90°，
∵∠A=∠A，
∴△AHP∽△ACB，
∴

PH

BC

=

AP

AB

=

AC?PC

AB

，
即

x

3

=

4?y

5

，
∴y=-

5

3

x+4，即y与x的函数关系式是y=-

5

3

x+4（0≤x≤2.4）；
②同理，当点P在线段AC的延长线上时，△AHP∽△ACB，
则

PH

BC

=

AP

AB

=

AC+PC

AB

，
即

x

3

=

4+y

5

，
∴y=

5

3

x-4，即y与x的函数关系式是y=

5

3

x-4（x＞2.4）；

（3）①当点P在线段AC上时，如图2，P′H′与⊙O相切．
∵∠OMH′=∠MH′D=∠H′DO=90°，OM=OD，
∴四边形OMH′D是正方形，
∴MH′=OM=1；
由（1）知，四边形CFOE是正方形，
CF=OF=1，
∴P′H′=P′M+MH′=P′F+FC=P′C，即x=y；
又由（2）知，y=-

5

3

x+4，
∴y=-

5

3

x+4，
解得y=

3

2

．
②当点P在AC的延长线上时，如图，P″H″与⊙O相切．此时y=1．