（2013?顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥DC，∠ABD=45°，∠ACD=30°
（2013?顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥DC，∠ABD=45°，∠ACD=30°，AD=CD=23，求AC和BD的长．...
（2013?顺义区一模）已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，BD⊥DC，∠ABD=45°，∠ACD=30°，AD=CD=23，求AC和BD的长．
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∵BD⊥DC，
∴∠BDC=90°，
∵∠ACD=30°，AD=CD=2
，
∴∠DEC=60°，∠DAC=∠ACD=30°，
DE=CD?tan30°=2
×
=2，
∴EC=2DE=4，∠ADE=30°，
∴AE=DE=2，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
过点A作AM⊥BD，垂足为M，
∵∠AEB=∠DEC=60°，
∴AM=AE?sin60°=2×
=
，
ME=AEcos60°=2×
=1，
∵∠ABD=45°，
∴BM=AM=
，
∴BD=BM+ME+DE=
+1+2=3+
∴∠BDC=90°，
∵∠ACD=30°，AD=CD=2
| 3 |
∴∠DEC=60°，∠DAC=∠ACD=30°，
DE=CD?tan30°=2
| 3 |
| ||
| 3 |
∴EC=2DE=4，∠ADE=30°，
∴AE=DE=2，
∴AC=AE+EC=2+4=6，
过点A作AM⊥BD，垂足为M，
∵∠AEB=∠DEC=60°，
∴AM=AE?sin60°=2×
| ||
| 2 |
| 3 |
ME=AEcos60°=2×
| 1 |
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∵∠ABD=45°，
∴BM=AM=
| 3 |
∴BD=BM+ME+DE=
| 3 |
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