Question

已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a，a∈R（1）解关于x的不等式g（x）＞6；（2）若函数y=2f（x）的图

已知函数f（x）=|x-1|，g（x）=-|x+3|+a，a∈R（1）解关于x的不等式g（x）＞6；（2）若函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的上方，求实数a的取值范围．

Answer 1

（1）不等式即-|x+3|+a＞6，即|x+3|＜a-6，
当a≤6时无解；
当a＞6时，由-（a-6）＜x+3＜a-6，即3-a＜x＜a-9，
求得不等式解集为（3-a，a-9）（a＞6）．
（2）y=2f（x）图象恒在g（x）图象上方，故2f（x）-g（x）＞0，等价于a＜2|x-1|+|x+3|．
设h（x）=2|x-1|+|x+3|=

?3x?1，x≤?3 5?x，?3＜x≤1 3x+1，x＞1

，根据函数h（x）的单调减区间为（-∞，1]、增区间为（1，+∞），
可得当x=1时，h（x）取得最小值为4，∴a＜4时，函数y=2f（x）的图象恒在函数y=g（x）的上方．