如图,P是射线y=35x(x>0)上的一个动点,以点P为圆心的圆与y轴相切于点C,与x轴的正半轴交于A、B两点.

如图,P是射线y=35x(x>0)上的一个动点,以点P为圆心的圆与y轴相切于点C,与x轴的正半轴交于A、B两点.(1)若⊙P的半径为5,求A、P两点的坐标?(2)求以P为... 如图,P是射线y=35x(x>0)上的一个动点,以点P为圆心的圆与y轴相切于点C,与x轴的正半轴交于A、B两点.(1)若⊙P的半径为5,求A、P两点的坐标?(2)求以P为顶点,且经过点A的抛物线所对应的函数关系式?(3)在(2)的条件下,上述抛物线是否经过点C关于原点的对称点D?请说明理由.(4)试问:是否存在这样的直线l,当点P在运动过程中,经过A、B、C三点的抛物线的顶点都在直线l上?若存在,请求出直线l所对应的函数关系式;若不存在,请说明理由. 展开
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飞机13273
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知道答主
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(1)由题意可知
OC
PC
3
5
,已知PC=5,
解得OC=3=yP,则xP=5,
故P点坐标为P(5,3),C点坐标为C(0,3),
圆P的方程为(x-5)2+(y-3)2=25,
令y=0,解得x=1或x=9,
由图象可知A、B点坐标为A(1,0),B(9,0),
故A(1,0),P(5,3);

(2)设抛物线的解析式为y=a(x-5)2+3,
将A点坐标为A(1,0),代入y=a(x-5)2+3,
解得a=-
3
16

故抛物线的解析式为y=-
3
16
(x-5)2+3,

(3)因为D与C关于原点对称,故D点坐标为D(0,-3),
将D点坐标代入y=-
3
16
(x-5)2+3,
即-3≠-
3
16
(0-5)2+3=-
27
16

故点D不在抛物线上;

(4)设P(m,n),m>0,则n=
3
5
m,
过点P作PQ⊥AB,垂足为Q,则AQ=BQ,
∵PA=PC=m,PQ=
3
5
m,
∴AQ=
4
5
m,
∴A(
1
5
m,0),B(
9
5
m,0),C(0,
3
5
m),
设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=a(x-
1
5
m)(x-
9
5
m),
将C(0,
3m
5
)代入解析式,
得a=
5
3m

∴y=
5
3m
(x-
1
5
m)(x-
9
5
m)
=
5
3m
(x2-2mx+
9
25
m2
=
5
3m
[(x-m)2-
16
25
m2]
∴y=
5
3m
(x-m)2-
16
15
m
∴抛物线的顶点坐标为(m,-
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