Question

已知函数f（x）=2x2-3x+1，g（x）=Asin（x-π6）（A≠0）（1）当0≤x≤π2时，求y=f（sinx）的最大值；（

已知函数f（x）=2x2-3x+1，g（x）=Asin（x-π6）（A≠0）（1）当0≤x≤π2时，求y=f（sinx）的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数A的取值范围；（3）问a取何值时，不等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立？

Answer 1

（1）由题意知y=f（sinx）=2sin²x-3sinx+1，
设t=sinx，x∈[0，

π

2

]，则0≤t≤1，
∴y=2（t²-

3

2

t）+1=2（t-

3

4

）²-

1

8

，
当t=0时，y=f（sinx）取最大值1．
（2）当x₁∈[0，3]时，f（x₁）值域为[-

1

8

，10]，
当x₂∈[0，3]时，则-

π

6

≤x2?

π

6

≤3?

π

6

，
∴-

1

2

≤sin(x2?

π

6

)≤1．
①当A＞0时，g（x₂）值域为[-

1

2

A，A]，
②当A＜0时，g（x₂）值域为[A，-

1

2

A]，
而依据题意有f（x₁）的值域是g（x₂）值域的子集，
则

A＞0 10＜A ? 1 8 ≥? 1 2 A

或

A＜0 10≤? 1 2 A ? 1 8 ≥A

，
∴A≥10或A≤-20．
（3）等式f（sinx）＜a-sinx在[0，2π]上恒成立，
等价于2sin²x-2sinx+1＜a在[0，2π]上恒成立，
令t=sinx，则t∈[-1，1]，
∴y＝2t2?2t+1＝2(t?

1

2

)2+

1

2

∈[

1

2

，5]．
∴a＞5．