Question

如图所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物

如图所示，竖直光滑的杆子上套有一滑块A，滑块通过细绳绕过光滑滑轮连接物块B，B又通过一轻质弹簧连接物块C，C静止在地面上．开始用手托住A，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，现将A由静止释放，当速度达到最大时，C也刚好同时离开地面，此时B还没有到达滑轮位置．已知：mA=1.2kg，mB=1kg，mc=1kg，滑轮与杆子的水平距离L=0.8m．试求：（1）A下降多大距离时速度最大？（2）弹簧的劲度系数．（3）A．B的最大速度是多少？

Answer 1

（1）当A速度达到最大时，即加速度等于0的时候，此时C也刚好同时离开地面，那么对B和C整体分析只有绳子拉力和重力，因此此时绳子拉力为：
T=m_Bg+m_Cg=2×10N=20N
当A的速度最大加速度等于0时，即：Tcosθ=m_Ag，
代入数据得：θ=53°
假设A下降的高度为h，则根据几何关系可得：tanθ=

L

h

，
带入得：h=

3

4

L=0.6m；
（2）根据几何关系可知，A下降0.6m时定滑轮到A的距离为：s=

L

sin53°

=1m
那么绳子拉长的长度也就是B上升的高度就是：h_B=s-L=0.2m
初始状态，绳子无张力，对B分析有：kx₁=m_Bg，弹簧的压缩量：x₁=

10

k

末状态，C刚好离开地面，对C分析有：kx₂=m_Cg，即弹簧的伸长量：x₂=

10

k

根据几何关系得：x₁+x₂=h_B
代入计算得：2×

10

k

=0.2
解得：k=100N/m
（3）由第二问可知，初状态弹簧压缩为：x₁=

10

k

=0.1m和末状态弹簧拉伸为：x₂=

10

k

=0.1m，
弹簧弹性势能没有变化，那么在此过程中ABC和弹簧组成的系统机械能守恒，由机械能守恒定律得：
E_p=m_Bg（x₁+x₂）-m_Agh+

1

2

m_Bv_B²+

1

2

m_Av_A²+E_p，
有几何关系可得AB的速度关系有：v_Acosθ=v_B
带入计算得：v_A=

2 15

3

m/s，v_B=

2 15

5

m/s；
答：（1）A下降0.6m时速度最大；
（1）弹簧的劲度系数为100N/m．
（2）A、B的最大速度分别是

2 15

3

m/s、

2 15

5

m/s．