Question

已知函数f(x)＝?13x3+x2+(m2?1)x，(x∈R)，其中m＞0．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处

已知函数f(x)＝?13x3+x2+(m2?1)x，(x∈R)，其中m＞0．（1）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线的方程；（2）求函数f（x）的单调区间与极值；（3）已知函数f（x）有三个互不相同的零点0，x1，x2且x1＜x2，若对任意的x∈[x1，x2]，f（x）＞f（1）恒成立，求m的取值范围．

Answer 1

（1）当m=2时，f(x)＝?

1

3

x3+x2+3x
∴f′（x）=-x²+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9
所以曲线y=f（x）在点（3，f（3））处的切线方程为：y=9；
（2）∵f′（x）=-x²+2x+m²-1，
令f′（x）=0，解得x=1-m或x=1+m，因为m＞0，所以1+m＞1-m，
当x变化时，f′（x）、f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在（-∞，1-m），（1+m，+∞）内是减函数，在（1-m，1+m）内是增函数，
∴函数f（x）在x=1-m处取得极小值f（1-m），且f(1?m)＝?

2

3

m3+m2?

1

3

，
函数f（x）在x=1+m处取得极大值f（1+m），且f(1+m)＝

2

3

m3+m2?

1

3

；
（3）由题设可得f(x)＝x(?

1

3

x2+x+m2?1)＝?

1

3

x(x?x1)(x?x2)，
∴方程?

1

3

x2+x+m2?1＝0有两个相异的实根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△＝1+

4

3

(m2?1)＞0
解得：m＜?

1

2

（舍去）或m＞

1

2

，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，∴x2＞

3

2

＞1，
若 x₁≤1＜x₂，则f(1)＝?

1

3

(1?x1)(1?x2)≥0，
而f（x₁）=0，不合题意；
若1＜x₁＜x₂，对任意的x∈[x₁，x₂]，有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
则f(x)＝?

1

3

x(x?x1)(x?x2)≥0，
又f（x₁）=0，所以 f（x）在[x₁，x₂]上的最小值为0，
于是对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要条件是f(1)＝m2?

1

3

＜0，
解得?

3

3

＜m＜

3

3

；     
综上，m的取值范围是(

1

2

，

3

3

)．