Question

高二数学，第20题

Answer 1

证明
(1)
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC
∵三棱柱ABC-A1B1C1为直三棱柱，
∴BC⊥CC1
∵AC∩CC1=C，AC，CC1⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥平面ACC1A1
∵A1C⊂平面ACC1A1，
∴BC⊥A1C
∵BC∥B1C1，则B1C1⊥A1C
∵Rt△ABC中，AB=2，BC=1，
∴AC=根号3
∵AA1=
根号3，
∴四边形ACC1A1为正方形
∴A1C⊥AC1
∵B1C1∩AC1=C1，B1C1，AC1⊂平面AB1C1
∴A1C⊥平面AB1C1
(2)当点E为棱AB的中点时，DE∥平面AB1C1
证明如下：
如图取BB1的中点F，连EF，FD，DE
∵D，E，F分别为CC1，AB，BB1的中点；
∴EF∥AB1
∵AB1⊂平面AB1C1，EF⊄平面AB1C1
∴EF∥平面AB1C1
同理可证FD∥平面AB1C1
∵EF∩FD=F
∴平面EFD∥平面AB1C1
∵DE⊂平面EFD
∴DE∥平面AB1C1