Question

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线

在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）三点．（1）求抛物线的解析式和顶点D的坐标；（2）如图1，将抛物线的对称轴绕抛物线的顶点D顺时针旋转60°，与直线y=-x交于点N．在直线DN上是否存在点M，使∠MON=75°．若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点P、Q分别是抛物线y=ax2+bx+c和直线y=-x上的点，当四边形OBPQ是直角梯形时，求出点Q的坐标．

Answer 1

（1）解：由题意把A（-3，0）、B（0，3）、C（1，0）代入y=ax²+bx+c列方程组得：

9a?3b+c＝0 c＝3 a+b+c＝0

，解得 

a＝?1 b＝?2 c＝3

．
∴抛物线的解析式是y=-x²-2x+3．  
∵y=-x²-2x+3=-（x+1）²+4，
∴抛物线的顶点D的坐标为（-1，4）．

（2）存在．
理由：方法（一）：
由旋转得∠EDF=60°，在Rt△DEF中，∵∠EDF=60°，DE=4，
∴EF=DE×tan60°=4

3

．∴OF=OE+EF=1+4

3

．
∴F点的坐标为（?1?4

3

，0）．
设过点D、F的直线解析式是y=κx+b，
把D（-1，4），F（?1?4

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