Question

已知圆C过原点且与x-y-4=0相切，且圆心C在直线x+y=0上．（1）求圆的方程；（2）过点P（2，2）的直线l与圆

已知圆C过原点且与x-y-4=0相切，且圆心C在直线x+y=0上．（1）求圆的方程；（2）过点P（2，2）的直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|=2，求直线l的方程．

Answer 1

（1）由题意设圆心C（a，-a），
则C到直线x-y-4=0的距离等于|CO|，
∴d＝

|2a?4|

2

＝

a2+a2

，解得a=1，
∴其半径r＝

2a2

＝

2

∴圆C的方程为（x-1）²+（y+1）²=2．（6分）
（2）由题知，圆心C到直线l的距离d＝

r2?( |AB| 2 )2

＝1．（8分）
当l的斜率不存在时，l：x=2成立，（9分）
若l的斜率存在时，设l：y-2=k（x-2），
由d=1，得

|3?k|

1+k2

＝1，解得k＝

4

3

，
∴l：4x-3y-2=0．（11分）
综上，直线l的方程为x=2或4x-3y-2=0．（12分）