Question

已知二次函数f（x）=ax2+bx-1为偶函数，且f（-1）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对?x∈（0，1）

已知二次函数f（x）=ax2+bx-1为偶函数，且f（-1）=0．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）∵二次函数f（x）=ax²+bx-1为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即ax²-bx-1=ax²+bx-1，解得b=0；
又f（-1）=a-1=0，
∴a=1，
∴f（x）=x²-1．
（2）∵对?x∈（0，1），不等式f（x-2）≥（2+k）x恒成立，
∴（x-2）²-1≥（2+k）x在x∈（0，1）时恒成立，
∴k≤x+

3

x

-6恒成立，x∈（0，1）．
∵y=x+

3

x

-6在（0，1）上单调递减，
∴x→1时，y=x+

3

x

-6→-2，
∴k≤-2．