Question

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（-1）nan-12n，n∈N*，则（1）a3=-116-116；（2）S1+S2+…+S100=13(12100?

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn=（-1）nan-12n，n∈N*，则（1）a3=-116-116；（2）S1+S2+…+S100=13(12100?1)13(12100?1)．

Answer 1

由Sn＝(?1)nan?

1

2n

，n∈N^*，
当n=1时，有a1＝(?1)1a1?

1

2

，得a1＝?

1

4

．
当n≥2时，an＝Sn?Sn?1＝(?1)nan?

1

2n

?(?1)n?1an?1+

1

2n?1

．
即an＝(?1)nan+(?1)nan?1+

1

2n

．
若n为偶数，则an?1＝?

1

2n

(n≥2)．
所以an＝?

1

2n+1

（n为正奇数）；
若n为奇数，则an?1＝?2an+

1

2n

＝(?2)?(?

1

2n+1

)+

1

2n

=

1

2n?1

．
所以an＝

1

2n

（n为正偶数）．
所以（1）a3＝?

1

24

＝?

1

16

．
故答案为-

1

16

；
（2）因为an＝?

1

2n+1

（n为正奇数），所以-a1＝?(?

1

22

)＝

1

22

，
又an＝

1

2n

（n为正偶数），所以a2＝

1

22

．
则?a1+a2＝2×

1

22

．
?a3＝?(?

1

24

)＝

1

24

，a4＝

1

24

．
则?a3+a4＝2×

1

24

．
…
?a99+a100＝2×

1

2100

．
所以，S₁+S₂+S₃+S₄+…+S₉₉+S₁₀₀
=(?a1+a2)+(?a3+a4)+…+(?a99+a100)?(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2(

1

4

+

1

16

+…+

1

2100

)?(

1

2

+

1

22

+…+

1

2100

)
=2?

1 4 (1? 1 450 )

1? 1 4

?

1 2 (1? 1 2100 )

1? 1 2

=

1

3

(

1

2100

?1)．
故答案为

1

3

(

1

2100

?1)．