Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列三个叙述：①a：b：c=sinA：sinB：sinC②a：b：c

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，给出下列三个叙述：①a：b：c=sinA：sinB：sinC②a：b：c=cosA：cosB：cosC③a：b：c=A：B：C以上三个叙述中能作为“△ABC是等边三角形”的充分必要条件的个数为（　　）A．0个B．1个C．2个D．3个

Answer 1

①根据正弦定理可知对任意三角形都有a：b：c=sinA：sinB：sinC，成立，∴△ABC不一定是等边三角形．
②若a：b：c=cosA：cosB：cosC，则由正弦定理得a：b：c=sinA：sinB：sinC，
∴a：b：c=sinA：sinB：sinC=cosA：cosB：cosC，
即

sinA

cosA

=

sinB

cosB

=

sinC

cosC

，即tanA=tanB=tanC，
∴A=B=C，∴△ABC是等边三角形，正确．
③由正弦定理 a：b=sinA：sinB 及条件 a：b=A：B，得 A：B=sinA：sinB，
∴sinA：A=sinB：B=sinC：C．
即

sinA

A

=

sinB

B

=

sinC

C

，
设函数f（x）=

sinx

x

，x∈（0，π） 则f（x）的导数f'（x）=

xcosx-sinx

x2

，
x∈（0，π）时，总有 x cosx-sinx＜0，
故f（x）是区间（0，π）上单调递减的函数，
∴若f（A）=f（B）=f（C），
则A=B=C，从而三角形是正三角形．
故正确的是②③．
故选：C．