Question

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D运动；动点Q

如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）在运动过程中，当t为何值时，△PQD是以∠PDQ为顶角的等腰三角形？并说明：此时，△PQD的面积恰好等于12PQ2．（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵AB=6cm，BC=8cm，
∴BD=

AB2+BC2

=

62+82

=10，
∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，
∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，
点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，
到达点B的时间是（6+8）÷3=

14

3

秒，
①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，
则sin∠BDC=

PE

PD

=

BC

BD

，
即

PE

10?2t

=

8

10

，
解得PE=

8

5

（5-t），
S_△PQD=

1

2

×3t?

8

5

（5-t）=

12

5

t（5-t）=-

12

5

t²+12t（0＜t≤2）；
②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，
则sin∠CBD=

PE

PB

=

CD

BD

，
即

PE

2t

=

6

10

，
解得PE=

6

5

t，
此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，
S_△PQD=S_△BCD-S_△CDQ-S_△PBQ，
=

1

2

×8×6-

1

2

×6（3t-6）-

1

2

×（14-3t）×

6

5

t，
=24-9t+18-