Question

已知函数f（x）=x 2 -2ax+4b 2 ，a，b∈R（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中

已知函数f（x）=x 2 -2ax+4b 2 ，a，b∈R（1）若a从集合{0，1，2，3}中任取一个元素，b从集合{0，1，2}中任取一个元素，求方程f（x）=0有两个不相等实根的概率；（2）若a从区间[0，2]中任取一个数，b从区间[0，3]中任取一个数，求方程f（x）=0没有实根的概率．

Answer 1

（1）∵a为取集合{0，1，2，3}中任一个元素，b为取集合{0，1，2}中任一个元素， ∴a，b的取值的情况有（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2）， （2，0），（2，1），（2，2）（3，0），（3，1），（3，2）．其中第一个数表示a的取值， 第二个数表示b的取值，即基本事件总数为：12． 设“方程f（x）=0有两个不相等的实根”为事件A， 当a≥0，b≥0时，方程f（x）=0有两个不相等实根的充要条件为：a＞2b． 当a＞2b时，a，b取值的情况有（1，0），（2，0），（3，0），（3，1）， 即A包含的基本事件数为：4， ∴方程f（x）=0有两个不相等实根的概率： p(A)= 4 12 = 1 3 （2）∵a是从区间[0，2]中任取一个数，b是从区间[0，3]中任取一个数， 则试验的全部结果构成区域Ω={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3}， 这是一个矩形区域，其面积S Ω =2×3=6． 设“方程f（x）=0没有实根”为事件B，则事件B所构成的区域为 M={（a，b）|0≤a≤2，0≤b≤3，a＜2b}， 它所表示的部分为梯形，其面积 S′=6- 1 2 ×2×1=5 由几何概型的概率计算公式可得方程f（x）=0没有实根的概率： p(B)= S′ S = 5 6