Question

已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m 2 +n 2 的最小

已知a、b、c为某一直角三角形的三条边长，c为斜边．若点（m，n）在直线ax+by+2c=0上，则m 2 +n 2 的最小值是______．

Answer 1

根据题意可知：当（m，n）运动到原点与已知直线作垂线的垂足位置时，m 2 +n 2 的值最小， 由三角形为直角三角形，且c为斜边，根据勾股定理得：c 2 =a 2 +b 2 ， 所以原点（0，0）到直线ax+by+2c=0的距离d= |0+0+2c| a 2 + b 2 =2， 则m 2 +n 2 的最小值为4． 故答案为：4．