Question

设函数 f(x)=x+ a x+1 ， x∈[0，+∞) ．（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1

设函数 f(x)=x+ a x+1 ， x∈[0，+∞) ．（1）当a=2时，求函数f（x）的最小值；（2）当0＜a＜1时，试判断函数f（x）的单调性，并证明．

Answer 1

（1）当a=2时， f(x)=x+ 2 x+1 =x+1+ 2 x+1 -1 ．（2分） ≥2 2 -1 ．（4分） 当且仅当 x+1= 2 x+1 ，即 x= 2 -1 时取等号， ∴ f(x ) min =2 2 -1 ．（6分） （2）当0＜a＜1时，任取0≤x 1 ＜x 2 f( x 1 )-f( x 2 )=( x 1 - x 2 )[1- a ( x 1 +1)( x 2 +1) ] ．（8分） ∵0＜a＜1，（x 1 +1）（x 2 +1）＞1， ∴ 1- a ( x 1 +1)( x 2 +1) ＞0 ．（10分） ∵x 1 ＜x 2 ，∴f（x 1 ）＜f（x 2 ），即f（x）在[0，+∞）上为增函数．（12分）