Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =3，且公差d≠0，其前n项和为S n ，且a 1 ，a 4 ，a 13 分别是等比数列{b n

已知等差数列{a n }的首项a 1 =3，且公差d≠0，其前n项和为S n ，且a 1 ，a 4 ，a 13 分别是等比数列{b n }的b 2 ，b 3 ，b 4 ．（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）证明 1 3 ≤ 1 S 1 + 1 S 2 +…+ 1 S n ＜ 3 4 ．

Answer 1

（Ⅰ）由已知  ，建立方程组 
求得  ， 从而得到通项公式  ．
此类问题突出对等差数列、等比数列基础知识的考查，计算要细心.
（Ⅱ）不难得到  ，  ，典型的应用“错位相消法”求和的一类问题.
在计算过程中，较易出错的是“相减”后，和式中的项数，应特别注意.
（Ⅰ）依题意得 
解得  ，
∴  ，
即  ．
（Ⅱ）  ，



两式相减得， 
= 
 ．

Answer 2

（Ⅰ）设等比数列的公比为q，则 ∵a 1 ，a 4 ，a 13 分别是等比数列{b n }的b 2 ，b 3 ，b 4 ． ∴ ( a 1 +3d ) 2 = a 1 ( a 1 +12d) ∵a 1 =3，∴d 2 -2d=0 ∴d=2或d=0（舍去） ∴a n =3+2（n-1）=2n+1 ∵ q= b 3 b 2 = a 4 a 1 =3 ， b 1 = b 2 q =1 ∴b n =3 n-1 ； （Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知 S n = n 2 +2n ∴ 1 S n = 1 n(n+2) = 1 2 （ 1 n - 1 n+2 ） ∴ 1 S 1 + 1 S 2 +…+ 1 S n = 1 2 [(1- 1 3 )+( 1 2 - 1 4 )+…+( 1 n - 1 n+2 )] = 1 2 (1+ 1 2 - 1 n+1 - 1 n+2 ) = 3 4 - 1 2 ( 1 n+1 + 1 n+2 ) ＜ 3 4 ∵ 1 n+1 + 1 n+2 ≤ 1 2 + 1 3 = 5 6 ∴ 3 4 - 1 2 ( 1 n+1 + 1 n+2 ) ≥ 1 3 ∴ 1 3 ≤ 1 S 1 + 1 S 2 +…+ 1 S n ＜ 3 4