Question

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0．且a 2 ，a 5 ，a 14 分别是等比数列{b n }的b 1 ，b 2 ，b 3

已知等差数列{a n }的首项a 1 =1，公差d＞0．且a 2 ，a 5 ，a 14 分别是等比数列{b n }的b 1 ，b 2 ，b 3 ．（Ⅰ）求数列{a n }与{b n }的通项公式；（Ⅱ）设数列{C n }对任意自然数n均有 c 1 b 1 + c 2 b 2 +…+ c n b n =a n+1 成立，求c 1 +c 2 +…+c 2013 的值．

Answer 1

（1）∵a 2 =1+d，a 5 =1+4d，a 14 =1+13d，且a 2 ，a 5 ，a 14 成等比数列， ∴（1+4d） 2 =（1+d）（1+13d），解得d=2， ∴a n =1+（n-1）?2=2n-1， 又b 1 =a 2 =3，b 2 =a 5 =9， ∴q=3， b n =3? 3 n-1 = 3 n ； （2） c 1 b 1 + c 2 b 2 +…+ c n b n =a n+1 ，即 C 1 3 + C 2 3 2 +…+ C n 3 n =2n+1 ①， 则n≥2时， C 1 3 + C 2 3 2 +…+ C n-1 3 n-1 =2n-1 ②， ①-②得， C n 3 n =2 ，所以 C n =2? 3 n （n≥2）， n=1时，C 1 =9， 所以 C n = 2? 3 n ，n≥2 9，n=1 ， 所以c 1 +c 2 +…+c 2013 =9+2?3 2 +2?3 3 +…+2?3 2013 =9+2? 3 2 (1- 3 2012 ) 1-3 =3 2014 ；