Question

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x 2 -y 2 =1的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存

直线l：y=kx+1与双曲线C：2x 2 -y 2 =1的右支交于不同的两点A、B。（1）求实数k的取值范围；（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1）将直线l的方程 代入双曲线C的方程 后，整理得  ① 依题意，直线l与双曲线C的右支交于不同两点，故 解得k的取值范围是 。 （2）设A、B两点的坐标分别为 、 则由①式得  ② 假设存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F（c，0） 则由FA⊥FB得： ，即 整理得  ③ 把②式及 代入③式化简得 解得 或 （舍去） 可知 使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点。