Question

已知：如图，?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G．

已知：如图，?ABCD中，∠DBC=45°，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G．求证：（1）AB=BH；（2）△ABG∽△HEB；（3）AB2=GA?HE．

Answer 1

证明：（1）∵DE⊥BC于E，∠DBC=45°，
∴∠BDE=45°，
∴BE=DE，
∵BF⊥CD于F，DE⊥BC于E，
∴∠HBE+∠C=90°，∠CDE+∠C=90°，
∴∠HBE=∠CDE，
在△HBE和△CDE中，

∠HBE＝∠CDE BE＝DE ∠HEB＝∠CED＝90°

，
∴△HBE≌△CDE（ASA），
∴BH=CD，
∵?ABCD中，AB=CD，
∴AB=BH；

（2）∵BF⊥CD于F，
∴∠BFC=90°，
∵?ABCD中，AB∥CD，
∴∠ABG=∠BFC=90°，
∵?ABCD中，AD∥BC，
∴∠G=∠HBE，
∴△ABG∽△HEB；

（3）∵△ABG∽△HEB，
∴

AB

HE

＝

GA

BH

，
∵由（1）知AB=BH
∴即AB²=GA?HE．