Question

已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤0时，f（x）=e-x；当0＜x≤1时，f（x）=4x2-4x+1．（1）求

已知函数f（x）满足f（x+2）=f（x），当-1＜x≤0时，f（x）=e-x；当0＜x≤1时，f（x）=4x2-4x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=f（x）-kx（k＞0），求函数g（x）在x∈[0，5]时的零点个数．

Answer 1

解：（1）由题可知f(x)＝

e?x，?1＜x≤0 4x2?4x+1，0＜x≤1

由f（x+1）=-f（x）可知f（x+2）=f（x），
即函数f（x）是以2为最小正周期的周期函数
故函数的图象如右图所示：
由图可知，函数f（x）的单调递减区间为(2k?1.2k+

1

2

](k∈Z)，
递增区间为[2k+

1

2

.2k+1](k∈Z)…（6分）
（2）由函数的图象可得函数g（x）在x∈[0，5]时的零点个数
即为f（x）=kx根的个数，即函数f（x）图象与y=kx图象交点的个数
则当k≥e时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有一个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有一个零点；
则当1＜k＜e时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有两个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有两个零点；
则当

e

3

≤k≤1时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有三个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有三个零点；
则当

1

3

＜k＜

e

3

时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有四个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有四个零点；
则当

1

5

＜k≤

1

3

时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有五个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有五个零点；
则当0＜k≤

1

5

时，函数f（x）图象与y=kx图象在x∈[0，5]时有六个交点，故g（x）在x∈[0，5]时有六个零点；