Question

已知函数f（x）=exx．①求函数f（x）的单调区间；②设g（x）=xf（x）-ax+1，若g（x）在（0，+∞）是存在

已知函数f（x）=exx．①求函数f（x）的单调区间；②设g（x）=xf（x）-ax+1，若g（x）在（0，+∞）是存在极值点，求实数a的取值范围．

Answer 1

①f′（x）=

ex(x-1)

x2

；
∴x∈（-∞，0）和x∈（0，1）时，f′（x）＜0；x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0；
∴函数f（x）的单调减区间是：（-∞，0），（0，1）；单调增区间是：[1，+∞）；
②g（x）=e^x-ax+1，
∴g′（x）=e^x-a；
∵g（x）在（0，+∞）上存在极值点；
∴g′（x）=0在（0，+∞）上有实数解；
∴由g′（x）=0得：e^x=a，
∴x=lna；
∵x＞0，
∴lna＞0，
∴a＞1；
∴实数a的取值范围为（1，+∞）．