Question

已知函数f（x）=ax4+bx3，（其中a、b为常数），当x=34时，取得极值-27256．（1）求f（x）的解析式；（2）

已知函数f（x）=ax4+bx3，（其中a、b为常数），当x=34时，取得极值-27256．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（x）在（k，﹢∞﹚上为增函数，求k的最小值；（3）设点M（-12，-p2+pq+18﹚，对任意p∈[1，98]，过点M总可以做函数y=f（x）图象的四条切线，求q的取值范围．

Answer 1

（1）f′（x）=4ax³+3bx²=（4ax+3b）x²
∴

f′( 3 4 )＝ 9 16 (4a× 3 4 +3b)＝0 f( 3 4 )＝a×( 3 4 )4+b×( 3 4 )3＝? 27 256

化简得

a+b＝0 3a+4b＝?1

解得a=1，b=-1，
∴f（x）=x⁴-x³；
（2）f′（x）=4x³-3x²=x²（4x-3），
当x＞

3

4

时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x＜

3

4

时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
∵f（x）在（k，﹢∞﹚上为增函数，∴k≥

3

4

，即k的取值范围为[

3

4

，+∞）；
（3）由（1）知：f（x）=x⁴-x³ ，f′（x）=4x³-3x²，设切点为P（x0，x04?x03），切线过MP的斜率

x04?x03+p2?pq? 1 8

x0+ 1 2

＝x02(4x0?3)，
整理得3x04?

3

2

x02＝p2?pq?

1

8

，
设t=x02，则上式为3t2?

3

2

t＝p2?pq?

1

8

，
设f（t）=3t2?

3

2

t?(p2?pq?

1

8

)，
∵对任意p∈[1，

9

8

]，过点M总可以做函数y=f（x）图象的四条切线，
∴f（t）=0有两个正根，
∴

p2?pq? 1 8 ＞0 △＝ 9 4 ?12(p2?pq? 1 8 )

，
整理得p?

1

8p

＜q＜p+

1

16q

，p∈[1，

9

8

]，

73

72

＜q＜

17

16

，