Question

六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中（如图1），有AC2+BD2=2（AB2+AD2

六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中（如图1），有AC2+BD2=2（AB2+AD2），则在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中（如图2），AC12+BD12+CA12+DB12等于（　　）A．2（AB2+AD2+AA12）B．3（AB2+AD2+AA12）C．4（AB2+AD2+AA12）D．4（AB2+AD2）

Answer 1

解答：解：如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，
因此，在平行四边形ABCD中，AC²+BD²=2（AB²+AD²）…①；
在平行四边形ACA₁C₁中，A₁C²+AC₁²=2（AC²+AA₁²）…②；
在平行四边形BDB₁D₁中，B₁D²+BD₁²=2（BD²+BB₁²）…③；
②、③相加，得A₁C²+AC₁²+B₁D²+BD₁²=2（AC²+AA₁²）+2（BD²+BB₁²）…④
将①代入④，再结合AA₁=BB₁得，AC₁²+B₁D²+A₁C²+BD₁²=4（AB²+AD²+AA₁²）
故选C．