Question

如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG

如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD=AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD交BE的延长线于点G，交AC于点M．（1）求证：△EGM为等腰三角形；（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．（1）证明：（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为______．证明：

Answer 1

解（1）∵等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，
∴AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°，
又∵AD=AE，∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△ABE（SAS），
∴∠1=∠3，
∵∠BAC=90°，
∴∠3+∠2=90°，∠1+∠4=90°，
∴∠4+∠3=90°
∵FG⊥CD，
∴∠CMF+∠4=90°，
∴∠3=∠CMF，
∴∠GEM=∠GME，
∴EG=MG，△EGM为等腰三角形．

（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为BG=AF+FG．
证明：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N，
∵BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴∠FBN=45°=∠FBA．
∵FG⊥CD，
∴∠BFN=∠CFM=90°-∠DCB，
∵AF⊥BE，
∴∠BFA=90°-∠EBC，∠5+∠2=90°，
由（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴∠BFN=∠BFA，
又∵BF=BF，
∴△BFN≌△BFA（ASA），
∴NF=AF，∠N=∠5，
又∵∠GBN+∠2=90°，
∴∠GBN=∠5=∠N，
∴BG=NG，
又∵NG=NF+FG，
∴BG=AF+FG．
故答案为：BG=AF+FG．