Question

如图所示， 四棱锥 P － ABCD 的底面是边长为1的正方形， PA ⊥ CD ， PA = 1， PD ＝ ， E 为 PD 上

如图所示， 四棱锥 P － ABCD 的底面是边长为1的正方形， PA ⊥ CD ， PA = 1， PD ＝ ， E 为 PD 上一点， PE = 2 ED ．（Ⅰ）求证： PA ⊥平面 ABCD ；（Ⅱ）求二面角 D－AC － E 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱 PC 上是否存在一点 F ，使得 BF ∥平面 AEC ？若存在，指出 F 点的位置，并证明；若不存在，说明理由．

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Answer 1

解：（Ⅰ） ∵ PA = PD = 1 ,PD = 2 ,  ∴ PA 2 + AD 2 = PD 2 , 即：PA ⊥ AD       又PA ⊥CD , AD , CD 相交于点D, ∴ PA ⊥平面ABCD  （Ⅱ）过E作EG∥PA 交AD于G，从而EG ⊥平面ABCD， 且AG = 2GD , EG = PA = ,   连接BD交AC于O, 过G作GH∥OD ，交AC于H，连接EH． ∵GH ⊥AC , ∴EH ⊥AC , ∴∠ EHG为二面角D-AC-E的平面角． ∴tan∠EHG = = ． ∴二面角D-AC-E的平面角的余弦值为- （Ⅲ）以AB , AD , PA为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系． 则A（0 ，0， 0），B（1，0，0） ，C（1，1，0），P（0，0，1），E（0 , ）, = （1,1,0）, = （0 , ）                                                 设平面AEC的法向量 = （x, y,z） , 则 ， 即： ， 令y = 1 , 则 = （- 1,1, - 2 ） 假设侧棱PC上存在一点F, 且 ＝ ， （0 ≤  ≤ 1）, 使得：BF∥平面AEC, 则 · ＝ 0． 又因为： ＝ + ＝ （0 ，1，0）+ （- ,- , ）= （- ,1- , ）, ∴ · ＝ + 1- - 2 = 0 , ∴ = , 所以存在PC的中点F, 使得BF∥平面AEC．