对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相
对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为P(n),则P(n)=___...
对一个边长互不相等的凸n(n≥3)边形的边染色,每条边可以染红、黄、蓝三种颜色中的一种,但是不允许相邻的边有相同的颜色.所有不同的染色方法记为P(n),则P(n)=______.
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设不同的染色法有Pn种.易知.
当n≥4时,首先,对于边a1,有3种不同的染法,由于边a2的颜色与边a1的颜色不同,
所以,对边a2有2种不同的染法,
类似地,对边a3,…,边an-1均有2种染法.对于边an,用与边an-1不同的2种颜色染色,
但是,这样也包括了它与边a1颜色相同的情况,
而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数Pn-1,
于是可得Pn=3×2n-1-Pn-1,
Pn-2n=(Pn-1-2n-1).
于是Pn-2n=(-1)n-3(P3-23)=(-1)n-1?(-2),
Pn=2n+(-1)n?2,n≥3.
综上所述,不同的染色方法数为Pn=2n+(-1)n?2,.
故答案为:2n+2?(-1)n
当n≥4时,首先,对于边a1,有3种不同的染法,由于边a2的颜色与边a1的颜色不同,
所以,对边a2有2种不同的染法,
类似地,对边a3,…,边an-1均有2种染法.对于边an,用与边an-1不同的2种颜色染色,
但是,这样也包括了它与边a1颜色相同的情况,
而边a1与边an颜色相同的不同染色方法数就是凸n-1边形的不同染色方法数的种数Pn-1,
于是可得Pn=3×2n-1-Pn-1,
Pn-2n=(Pn-1-2n-1).
于是Pn-2n=(-1)n-3(P3-23)=(-1)n-1?(-2),
Pn=2n+(-1)n?2,n≥3.
综上所述,不同的染色方法数为Pn=2n+(-1)n?2,.
故答案为:2n+2?(-1)n
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