Question

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，点A，B，C都在椭圆C上，且AB、AC分别过两个焦点F1

已知椭圆C：x2a2+y2b2＝1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，点A，B，C都在椭圆C上，且AB、AC分别过两个焦点F1、F2．（I）求椭圆C的离心率；（II）若直线AB的斜率为2，且线段AB的垂直平分线经过(?49，0)，求椭圆方程．

Answer 1

（I）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

＝1(a＞b＞0)的焦距与短轴长相等，
∴2c=2b，∴b=c
∴a＝

b2+c2

=

2

c
∴e＝

c

a

＝

2

2

；
（II）设弦AB中点坐标（m，n），则

? 1 2 m n ＝2 ? 1 2 ＝ 0?n ? 4 9 ?m

，
∴m＝?

8

9

，n＝

2

9

，
又2＝

2 9

? 8 9 +c

，∴c=1，b=1，a²=2
∴椭圆方程为

x2

2

+y2＝1．