Question

已知椭圆C的一个焦点为F1(-√2,0),焦距与短轴相等。(1)求椭圆C的方程；若椭圆另一焦点F2，

试问椭圆上是否存在一点P，PF1 丄 PF2，若存在试求处P点坐标，若不存在试说明理由

Answer 1

焦距与短轴相等,2b=2c
一个焦点为F1(-√2,0),c=√2
a^2=b^2+c^2=4
椭圆C的方程x^2/4+y^2/2=1
F1(-√2,0),F2(√2,0),P(x0,y0)
PF1 丄 PF2，向量PF1*PF2=0
(-√2-x0,-y0)*(√2-x0,-y0)=0
x0^2+y0^2=2
P在椭圆上x0^2/4+y0^2/2=1
解得y0^2=2,x0^2=0
P点坐标(0,-√2)(0,√2)

Answer 2

（1）因为椭圆的一个焦点是（－√2,0）所以椭圆的焦距为√2
由焦距与短轴相等可知b＝√2 b²=2
在椭圆当中a²=b²＋c²
a²＝√2²＋√2²=4
椭圆方程：x²／4＋y²／2＝1
（2）设p的坐标为（x,y）
向量PF1=（x＋√2，y） 向量PF2＝（x－√2,y）
PF1⊥PF2
向量PF1与向量PF2的积为0
及（x＋√2）×（x－√2）－y²=0
x²－2－y²＝0
且 x²／4＋y²／2=1
解得x²＝8／3 y²＝2／3
开平方即可。
注意：有四对解哦！

Answer 3

（1）c=√2 ,∴c^2=2
b=2√2 ,∴b^2=8
∴a^2=b^2+c^2=10
∴求椭圆C的方程:x^2/10+y^2/8=1
（2）若存在一点P，则
S△PF1F2=b^2tana/2=8
∵S△PF1F2=1/2IF1F2I·IYpI
∴IYpI=4√2,∴x^2=-30 ,无解
故不存在一点P，使PF1 丄 PF2。