Question

已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM

已知：如图，∠B=∠C=90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．（1）求证：AM平分∠BAD；（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．

Answer 1

（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME=MC，
∵M为BC中点，
∴MB=MC，
又∵ME=MC，
∴ME=MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．

（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD=180°，
∴∠1+∠3=90°，
∴∠DMA=180°-（∠1+∠3）=90°，
即DM⊥AM．

（3）解：CD+AB=AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C=∠DEM=90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中

DM＝DM EM＝CM

∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD=DE，
同理AE=AB，
∵AE+DE=AD，
∴CD+AB=AD．